2022年03月19日 更新
どうも、クラゲジュニアです。
GitHub Gistはブラウザ上で編集するだけでなく、GitHubと同様にgit cloneしてcommit/push/pullなどが可能です。また他の人と共同開発も可能です。今回はGitHub Desktopを使って説明します!
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自分のGitHubアカウントでGistページを適当に作成後、右上のアイコンからGitHub Desktopを選択します。

クリックするとポップが出るので、GitHubDesktop.exeを開くを選択します。
Local pathにて適当にフォルダを入力してCloneをクリックします。

これでFetchやPullなどはできるになります。
例えば、ブラウザ側でGistを編集後にGitHub DesktopでPullできます。

一方で先ほど作ったフォルダで編集したものをPushしようとするとAuthentication failedと表示され、UsernameとPasswordが要求されます。

同じGitHubアカウントにもかかわらず、Gistを使う場合は認証が必要なようです。
なお、このPasswordはGitHubのログインパスワードではありませんのでご注意ください。
GitHubにアクセスし、アカウントアイコン > Settings を選択します。
※Gistではありません

左下のDeveloper settings を選択します。

Personal access tokens > Generate new token を選択します。

GitHubアカウントのパスワードが求められたら入力してください。
Note に適当に文字列を書きます。Expirationはトークンの期限です。無期限にもできますが、とりあえず30daysのままとしました。

下へスクロールして、gistと書かれたボックスのみをチェックして Generate token をクリックします。

これでトークンが発行されたので、トークンの横のボタンを押してコピーします。

Username には GitHubアカウント名、Passwordに先ほどコピーした内容を貼り付け、Save and retry をクリックするとリモートリポジトリに反映されます!

実際にブラウザのGistを見ると反映されています。
GitHub Gistにはコラボレーターの設定はありませんが、さきほどのトークンを他の人に共有することにより共同作業が可能になります。なお、Usernameはトークンを発行した人に関係なく別のアカウント名を使えます。
以上です。